La complessa bellezza del seno

La funzione seno (e che avevate pensato?) la conosciamo tutti, no? In campo reale sicuramente, ma si sa che le funzioni danno il meglio di sé in campo complesso (anche se questo restringe un po’ le possibilità, ma restano davvero tante e non numerabili!) Un modo per visualizzare una funzione complessa è quello di vedere come si trasformano le rette verticali e orizzontali nel piano complesso, ovvero quelle che in $\mathbb{C}$ hanno equazione $\operatorname{Re}(z)=u$ e $\operatorname{Im}(z)=v$. È quello che si vede nella prima animazione qui sotto, dove al variare del parametro $\alpha$ da $0$ a $1$ si ha la trasformazione da $z$ a $\sin(z)$. Per le simmetrie della funzione $\sin(z)$, possiamo restringerci alla striscia di piano complesso con $\operatorname{Re}(z) \in [-\pi/2, \pi/2]$.

Tadaaaa! Il risultato è un insieme di ellissi e iperboli dove ogni curva di una famiglia interseca perpendicolarmente le curve dell’altra famiglia (magia delle funzioni analitiche), e non solo: tutte le curve di entrambe le famiglie hanno i fuochi in $F_1(-1)$ e $F_2 (1)$.

Potenze complesse

Ogni funzione analitica in $\mathbb{C}$ può essere considerata come trasformazione nel piano complesso.

Nell’applet qui sotto vengono visualizzati gli effetti della trasformazione z → z^α su alcune rette parallele agli assi coordinati. Per α = 1 naturalmente la trasformazione coincide con l’identità e si ritrovano le rette di partenza. Poiché la trasformazione indotta da una funzione analitica preserva gli angoli, gli angoli che si formano fra le due famiglie di curve sono sempre retti, come quelli di partenza. Per α pari a –1, 1/2 e 2 le curve sono coniche, ovvero rispettivamente circonferenze (tutte passanti per l’origine e in essa tangenti a uno degli assi), iperboli equilatere (tutte aventi per asintoti gli assi coordinati) e parabole (tutte con l’asse coincidente con l’asse x e il fuoco nell’origine). Come nota 3Blue1Brown in un suo video, se α vale 2, il grafico contiene in sé tutte le terne pitagoriche.

Riflessioni paraboliche secondo Huygens

Nell’applet Geogebra onde circolari escono da una sorgente posta nel fuoco di una parabola, i punti in cui queste onde incontrano la parabola sono sorgenti di onde secondarie. Come si vede, gli inviluppi delle onde secondarie sono linee rette: dal punto di vista dei raggi, i raggi che escono dal fuoco dopo riflessione sono tutti paralleli all’asse della parabola. È possibile cambiare la forma della parabola agendo sul suo punto superiore.