La funzione seno (e che avevate pensato?) la conosciamo tutti, no? In campo reale sicuramente, ma si sa che le funzioni danno il meglio di sé in campo complesso (anche se questo restringe un po’ le possibilità, ma restano davvero tante e non numerabili!)
Un modo per visualizzare una funzione complessa è quello di vedere come si trasformano le rette verticali e orizzontali nel piano complesso, ovvero quelle che in $\mathbb{C}$ hanno equazione $\operatorname{Re}(z)=u$ e $\operatorname{Im}(z)=v$. È quello che si vede nella prima animazione qui sotto, dove al variare del parametro $\alpha$ da $0$ a $1$ si ha la trasformazione da $z$ a $\sin(z)$. Per le simmetrie della funzione $\sin(z)$, possiamo restringerci alla striscia di piano complesso con $\operatorname{Re}(z) \in [-\pi/2, \pi/2]$.
Tadaaaa! Il risultato è un insieme di ellissi e iperboli dove ogni curva di una famiglia interseca perpendicolarmente le curve dell’altra famiglia (magia delle funzioni analitiche), e non solo: tutte le curve di entrambe le famiglie hanno i fuochi in $F_1(-1)$ e $F_2 (1)$.