Il moto dei pianeti intorno al sole

Alcuni anni fa venne pubblicato un libro che ricostruiva una lezione di Feynman che si era “perduta” e non era andata a finire nella sua leggendaria “Fisica”. In quella lezione Feynman, senza ricorrere al calcolo differenziale ma con argomentazioni essenzialmente geometriche, dimostrava la Seconda e poi la Prima legge di Keplero a partire dalla legge di gravitazione universale di Newton.

Recentemente 3blue1brown ha pubblicato su youtube un filmato d’animazione che riprende i ragionamenti di Feynman.

Il filmato è molto bello (come tutti quelli di 3blue1brown, del resto) e d’effetto anche se, a mio parere, il ragionamento finale viene sintetizzato troppo succintamente e richiede un piccolo “atto di fede” (il libro argomenta più in dettaglio).

Una delle cose più interessanti che ci racconta la trattazione di Feynman è che, anche se il moto del pianeta non è circolare, comunque la punta del vettore velocità percorre una circonferenza o un arco di circonferenza.

Partiamo per la tangente?

Similmente a quanto fatto per la funzione seno, esaminiamo la funzione tangente come trasformazione del piano complesso. Intanto cerchiamo di trovare un’espressione semplice della tangente complessa in cui si evidenzino parte reale e parte immaginaria: $$z=x+iy=f(w)=\tan(u+iv)=\frac{\sin(u+iv)}{\cos(u+iv)}=$$ $$=\frac{\sin u \cosh v+i\cos u\sinh v}{\cos u \cosh v+i\sin u\sinh v}=\ldots=\frac{\sin u \cos u + i \sinh v \cosh v}{\cos^2 u \cosh^2 v+ \sin^2 u \sinh^2 v}=\ldots$$ $$=\frac{\sin 2u + i \sinh 2v}{\cos 2u + \cosh 2v}$$ (i passaggi sono lasciati al lettore come esercizio 😉).

L’equazione della trasformazione in forma vettoriale è dunque: $$(x,y)=\frac{(\sin 2u , \sinh 2v)}{\cos 2u + \cosh 2v}.$$ Per la periodicità della funzione tangente, possiamo restringerci alla striscia di piano complesso con $\operatorname{Re}(w) \in [-\pi/2, \pi/2]$. Mettiamo tutto dentro geogebra e vediamo che accade:

Complesse innocenti iterazioni

Parliamo dell’insieme matematico forse più famoso, sicuramente il più... graficato: l’insieme di Mandelbrot (che chiameremo $\mathcal{M}$). Siamo nel piano complesso, e consideriamo un punto di coordinate $c=x+iy$. Consideriamo la successione $\{z_n\}$ così definita: $z_0=0$ e $z_{k+1}={z_k}^2+c$ per $k>0$. Si ha che $c$ appartiene a $\mathcal{M}$ se e solo se la successione non diverge, ovvero è limitata in modulo. Si dimostra inoltre che se $\{z_n\}$ è limitata allora si ha sempre $|z_k|\le 2 \;\forall k \in \mathbb{N}$. In particolare, tutto l’insieme di Mandelbrot è contenuto all’interno del cerchio $\mathcal{C}$ di raggio 2 centrato nell’origine, e l’elemento più distante dall’origine corrisponde a $c=-2$, che dà origine alla successione $\{0,-2,2,2,2\ldots\}$

La complessa bellezza del seno

La funzione seno (e che avevate pensato?) la conosciamo tutti, no? In campo reale sicuramente, ma si sa che le funzioni danno il meglio di sé in campo complesso (anche se questo restringe un po’ le possibilità, ma restano davvero tante e non numerabili!) Un modo per visualizzare una funzione complessa è quello di vedere come si trasformano le rette verticali e orizzontali nel piano complesso, ovvero quelle che in $\mathbb{C}$ hanno equazione $\operatorname{Re}(z)=u$ e $\operatorname{Im}(z)=v$. È quello che si vede nella prima animazione qui sotto, dove al variare del parametro $\alpha$ da $0$ a $1$ si ha la trasformazione da $z$ a $\sin(z)$. Per le simmetrie della funzione $\sin(z)$, possiamo restringerci alla striscia di piano complesso con $\operatorname{Re}(z) \in [-\pi/2, \pi/2]$.

Tadaaaa! Il risultato è un insieme di ellissi e iperboli dove ogni curva di una famiglia interseca perpendicolarmente le curve dell’altra famiglia (magia delle funzioni analitiche), e non solo: tutte le curve di entrambe le famiglie hanno i fuochi in $F_1(-1)$ e $F_2 (1)$.

Potenze complesse

Ogni funzione analitica in $\mathbb{C}$ può essere considerata come trasformazione nel piano complesso.

Nell’applet qui sotto vengono visualizzati gli effetti della trasformazione z → z^α su alcune rette parallele agli assi coordinati. Per α = 1 naturalmente la trasformazione coincide con l’identità e si ritrovano le rette di partenza. Poiché la trasformazione indotta da una funzione analitica preserva gli angoli, gli angoli che si formano fra le due famiglie di curve sono sempre retti, come quelli di partenza. Per α pari a –1, 1/2 e 2 le curve sono coniche, ovvero rispettivamente circonferenze (tutte passanti per l’origine e in essa tangenti a uno degli assi), iperboli equilatere (tutte aventi per asintoti gli assi coordinati) e parabole (tutte con l’asse coincidente con l’asse x e il fuoco nell’origine). Come nota 3Blue1Brown in un suo video, se α vale 2, il grafico contiene in sé tutte le terne pitagoriche.

Riflessioni paraboliche secondo Huygens

Nell’applet Geogebra onde circolari escono da una sorgente posta nel fuoco di una parabola, i punti in cui queste onde incontrano la parabola sono sorgenti di onde secondarie. Come si vede, gli inviluppi delle onde secondarie sono linee rette: dal punto di vista dei raggi, i raggi che escono dal fuoco dopo riflessione sono tutti paralleli all’asse della parabola. È possibile cambiare la forma della parabola agendo sul suo punto superiore.

Spirograph

Dunque... lo Spirograph è un aggeggio (antico ma tuttora in vendita) che serve a disegnare bellissime curve con nomi stranissimi tipo ipotrocoide, epitrocoide, ipocicloide, epicicloide...

In sostanza c’è una circonferenza che rotola senza strisciare all’interno (ipo-) o all’esterno (epi-) di un’altra circonferenza e la curva che descrive un punto solidale ad essa è appunto una di quelle suddette.

Nell’applet Geogebra che trovate qui sotto il raggio R della circonferenza principale è fissato ad 1, potete scegliere il raggio r della circonferenza che rotola (il segno determina se interna o esterna alla circonferenza principale) e la distanza r' degli n punti dal centro della circonferenza secondaria. Il parametro Ω influenza la velocità del moto della circonferenza secondaria.

Potete fare vari esperimenti come ho fatto io (dopo l’applet alcuni esempi). Se r = 0.5 le curve sono ellissi, e se anche r' = 0.5 che cosa succede di notevole?

Per resettare la figura, premete il pulsante di pausa, azzerate il tempo t, modificate i parametri e poi premete sul pulsante play. Con la rotella del mouse potete zoomare avanti e indietro (questo però provoca il reset del disegno).
Per uno spirograph molto più “professionale” e simile all’originale, cliccate qui.